什么是數？

　　開天辟地之初，人類就開始與數打交道。數即是數目的意思。正如《漢書·律歷志上》云：“數者，一十百千萬也。”

　　數進入數學體系就成為它的最基本概念之一，數的概念是隨著人類的生產和生活實踐的不斷發展而逐漸形成的，并且永無止境地發展著。從古至今，以自然數為開端，接著是有理數與無理數、正數與負數、實數與虛數，直至復數，共同構成數的概念不斷拓展的系列。每一次拓展都是一次創造思維的躍升。

　　什么是數學？

　　數學是研究現實世界的空間形式和數量關系的科學。古時候，人類在生產和生活實踐中便獲得了數的概念和一些簡單幾何形體的概念。自此開始，到16世紀，創立了包括算術、初等代數、初等幾何和三角的初等數學。17世紀引入變量概念是數學發展史中的轉折點，這使得運動和辯證法進入數學，開始研究變化中的量與量之間相互制約關系和圖形間的相互變換。近年來，由于數學在自然科學和技術領域的廣泛應用，又由于計算技術的迅猛發展，數學對人類認識自然和改造自然的重要作用也顯示得更加清楚了。至今，現代數學已經形成了包括數理邏輯、數論、代數學、幾何學、拓撲學、函數論、泛函分析、微分方程、概率論、數理統計、計算數學及邊緣學科運籌學、控制論等在內的龐大體系。

　　與數的發展一樣，數學發展史也是創造思維不斷發展的歷史。

　　數學是中小學生的主科。數學學習是中小學生增長學習能力和創造能力的廣闊天地。

　　一.驢唇怎能對得上馬嘴呢

　　陰錯陽差的巧事，張冠李戴的誤會，在大千世界，這等笑話，時有發生。可是，在數學課上，難道也會發生驢唇不對馬嘴的事情嗎？

　　（一）平地起風雪

　　話題是從一道淺顯的代數題引發的。這是一個發生在某中學初一新生的一節數學課上的小故事。快下課時，老師出了一道題：“若a為自然數，說出a以后的7個連續自然數。”一個小女孩舉手搶答：“a，b，c，d，e，f，g。”話音剛落，便引起哄堂大笑，老師也愕然了。女孩覺察到，自己的答案，驢唇不對馬嘴。出了笑話，落個滿臉通紅。

　　接著，一個男孩起來補正：“a＋1，a＋2，a+3，a+4，a＋5，a+6，a+7。”爾后，下課鈴響了。

　　事情平平常常。一個女孩答錯了題，一個男孩糾正過來，全班同學都明白了正確答案。下課，大家就都散了。

　　那么，這件事是否到此就算了結了呢？

　　請思考10分鐘，然后，發表你的見解。

　　單兵——我看是了結了。老師完成了教學任務，學生也完成了學習任務。

　　焦小敏——如果說沒有了結，那就是老師還得教育同學們，不要把這事當成奚落那位小姑娘的笑柄。

　　張娟——還有，班上的同學也有義務鼓勵那位小姑娘。

　　趙燕——直截了當地說，我認為沒有了結。因為任何結果都有原因。小姑娘答成“a，b，c，d，e，f，g”這是她思維的結果。那么，她一定有個由此及彼的思維過程，其中深藏著錯誤的原因。老師與那個小姑娘的任務是找出原因，避免再錯。如若不然，再遇類似問題，也許她又答成“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚” 呢。

　　肖冬春——我同意這種看法。換句話說，知道男孩答案正確，并不等于找到自己的錯誤原因。

　　韓小彧——前面幾位同學的發言，從不同的角度，各有各的道理。但是，又都有一個絕對化的框框束縛著。這就是姑娘的答案一無是處；小男孩的答案絕對正確，天衣無縫。這個框框正是上面5個發言的潛在的共同前提。當然，錯誤答案之正確部分及正確答案之不足部分，如果真有，我現在還未想出。

　　赫峰——她提出的問題，是一條嶄新的思路，很有啟發。我發現小姑娘的答案中有一個合理的因素，7個字母與題目要求的7個自然數合得上。

　　曹博——這么說來，錯誤答案中的合理因素，可不止這一個。題目要求“a以后”，按照英語字母表由b到g都在a以后。

　　姚樹——題目要求“連續”，按英語字母表，從a到g是連續的，并沒斷開，也沒跳躍。

　　祝越——7個符號都可以表示自然數。這一點。也是符合題目要求的。

　　李河——這么說來，“a以后”、“7個”、 “連續”、“自然數”4大要素都合乎題目要求，錯在哪里呢？

　　討論至此，真是平地起風云。看來已經結束的問題，卻又引出一片新話題。況且本來被公認為絕對錯誤的答案，現在卻找不到一點破綻了。

　　（二）罕見的對話

　　正像大家的看法一樣，當堂聽課的主任覺察到：這件事并未結束。

　　下課后主任與老師討論，老師認為“a+1”到“a+7”是唯一正確的答案，全班已懂，教學任務已告完成。主任又去問學生。大家說那個小女孩在小學時，特別喜歡英語。主任領悟了：小學時只是在英語學習中才見到過a，題目似乎要求寫出“a以后的7個”來，自然，a，b，c，d，e，f，g”在頭腦中出現了，又在口中說出了。這正是心理學上所說的副定勢起了作用。

　　爾后，主任將女孩找到辦公室。先肯定她喜歡英語，大膽舉手的優點，接著是雙方一連串的對話。

　　“那題明白了嗎？”

　　“明白了。”

　　“你的答案呢？”

　　“全錯了。”

　　“一點對的地方也沒有？”

　　“沒有。”

　　“一丁點兒都沒有？”

　　“沒有。”

　　“真的嗎？”

　　“我沒想過。”（唉！沒有想過就堅定地認為自已全錯了！）

　　“現在想想看。”

　　“想不出。”

　　“b，c，d，e，f，g，不是在a以后嗎？”

　　“是”。

　　“字母不是說了7個嗎？”

　　“是”。

　　“7個字母，排列有序，為什么不跳著說呢。”

　　“題目上說……”

　　“你看，‘a以后’、‘7個’、‘連續’，都有了。這些字母又都能表示自然數。那么，哪有錯的地方呢？”

　　“咦，怎么沒有錯的地方了呢？”

　　最后，在主任啟發下，發現了錯誤：對于這些字母，沒有給出符合題意的數學含義。一句話，把英語字母轉化為數學符號的任務，沒有完成。

　　找出錯誤原因，就能糾正錯誤。簡單說，將7個英語字母賦予符合題意的數學含意就是了。這樣，找到了與眾不同的答案：若a為自然數，令a＇＝a＋1，b＝a＋2，c＝a＋3，d＝a＋4，e＝a＋5，f＝a＋6，g＝a＋7，則a＇，b，c，d，e，f，g”便是正確答案。

　　就是這樣，正確與錯誤之間，只有一小撇之差。

　　還應指出，運用這種靈活變通的思維方式，求解此題，正確答案是無窮盡的。即使是“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚”，只要將其賦予符合題意的數學含義，也能成為正確答案。這么看來，把“a＋1，a＋2，a＋3，a＋4，a＋5，a＋6，a＋7”看成唯一正確答案，失之于思維呆板，并且導致片面性和絕對化。

　　（三）深刻的啟示

　　中小學生在數學學習中，錯誤常見，改錯也常見。但是，這樣的改錯方式從未見過。

　　這樣的改錯方式給我們的啟示是深刻的，是多方面的。

　　1.在變通性的動態思考中更深刻地掌握數學新原理

　　掌握數學概念和原理，運用相關概念、原理解答數學問題，從而獲得系統的數學知識，提高思維能力，這是數學學習的基本任務。

　　用符號表示數是代數學的根本特點。在小學算術中只用阿拉伯數字表示固定的具體數目。而在中學代數中，就要用抽象符號表示多種多樣的數學含義。用符號表示數的課題，是代數起始課的重點和難點。上面的題，正是為了使學生掌握這個代數原理而設計的。

　　兩種改錯方式對理解原理的作用是不同的。先看一般方式：

　　a，b，c，d，e，f，g→a＋1，a＋2，a+3，a+4，a+5，a+6，a+7

　　再看變通方式：

　　a，b，c，d，e，f，g→令a＇＝a＋1，b＝a＋2，c＝a+3，d＝c+4，e＝a+5，f＝a+6，g＝a+7→a＇，b，c，d，e，f，g

　　后者增加“令a＇＝a＋1，……，g＝a＋7”的一步，同時也就增加了“a＇～g”的新的答案形式，最后回到“a＋1，……，a＋7”的答案。中間增加兩步推導，都運用了“符號表示數”的原理。這樣，也就加深了對這一原理的理解。

　　總之，對比兩種處理方式，后者更有利于數學知識的掌握和學習能力的提高。

　　2.創造思維能力在運用中得到增長

　　運用變通性方式改錯，不僅有利于學習能力的提高，也有利于創造思維能力的增長。

　　變通性改錯方式，加大了思維難度，是進行發散思維而獲得的結果。當然，這也不是唯一的結果。更為重要的是：原來被認為解法唯一，現在變成無窮了。這就啟發我們提出問題：

　　（1）數學概念和數學原理統統都是永恒不變的嗎？其表述方式是唯一的嗎？

　　（2）被認為只有一種解答方法的數學題是統統都不會有第2、第3種解決方法嗎？

　　當我們對這兩個問題得出“不見得”的結論時，那么對今后的數學學習產生的影響，也就在其中了。即不以固定方式掌握數學概念、原理和題目解法為滿足，而還要運用創造思維的發散性、靈活性，對每一個數學課題予以審視，積極發掘可能蘊含著的新內容、新方法、新的推理和新的表達方式。

　　這樣堅持下去，就會收到數學學習能力與創造思維能力同步超常增長的效果。