讓數學課堂更有“思想”

　　【內容摘要】數學思想，是指人們對數學理論與內容的本質認識，它直接支配著數學的實踐活動。數學方法是指某一數學活動過程的途徑、程序、手段，它具有過程性、層次性和可操作性等特點。數學思想是數學方法的靈魂，數學方法是數學思想的表現形式和得以實現的手段。因此，人們把它們稱為數學思想方法。數學思想方法是數學知識的精髓，是數學知識遷移的基礎和源泉，是溝通數學各部分、各分支間聯系的橋梁和紐帶，學生只有領會了數學思想方法,才能有效地應用知識,形成能力，在數學教學中要注重滲透數學思想方法。

　　【關 鍵 詞】數學思想   數學教學  滲透  層次性  閱讀  遷移

　　“數學的內容、思想、方法和語言已廣泛滲入自然學科和社會學科，成為現代文化的重要組成部分”。數學思想方法是數學知識的精髓，是數學知識遷移的基礎和源泉，是溝通數學各部分、各分支間聯系的橋梁和紐帶，是構建數學理論的基石，是數學素養的重要內容之一。眾所周知，學生畢業后成為專業數學工作者的微乎其微，直接應用數學的人只占一小部分，絕大多數人在工作中不用數學。可以說，我們在生活、學習和工作中應用的不僅僅是數學知識，更多的是數學思想方法。學生只有領會了數學思想方法，才能有效地應用知識，形成能力。在我們解決問題、進行數學思維時，也總是自覺或不自覺地運用數學思想方法。因此，在數學教學中要注重滲透數學思想方法。

　　數學思想方法是借助于數學知識、技能為載體而體現出來的，思想要融入內容和應用中，才成為思想，就思想方法講思想方法，學生會感到枯燥無味，是不能真正掌握數學思想方法的。只有在教學中反復多次滲透，方能“隨風潛入夜，潤物細無聲”，讓學生在不知不覺中領會、掌握，才能自覺運用，形成能力。

　　一、滲透“方法”，了解“思想”。

　　知識是思想的“軀體”，思想是知識的“靈魂”。

　　《數學課程標準》中提出的目標是學生在學段末最終應達到的目標，而由于初中學生數學知識比較貧乏，抽象思想能力也較為薄弱，對相應知識的理解是逐步深入的，不可能“一步到位”。因而只能將數學知識作為載體，把數學思想方法教學滲透到數學知識的教學中。教師要把握好滲透的契機，重視學生知識的形成、發展過程，解決問題和規律的概括過程，使學生在這些過程中展開思維，逐級遞進，從而發展他們的科學精神和創新意識，形成獲取、發展新知識，運用新知識解決問題。

　　事實上，許多重要的數學思想方法，即使是對同一學段的學生而言，也不是一次可以學成的。教師在整個教學過程中，不僅應該使學生能夠領悟到這些數學思想方法的應用，而且要激發學生學習數學思想方法的好奇心和求知欲，通過獨立思考，不斷追求新知，發現、提出、分析并創造性地解決問題。在教學中，要認真把握好 “了解”、“理解”、“會應用”這三個層次。不能隨意將“了解”的層次提高到“理解”的層次，把“理解”的層次提高到“會應用”的層次，不然的話，學生初次接觸就會感到數學思想抽象難懂，高深莫測，從而導致他們喪失信心。

　　二、訓練“方法”，理解“思想”。

　　數學教學內容始終反映著數學基礎知識和數學思想方法這兩條線。數學教材的每一章內容，都體現著這兩條線的有機結合。這是因為沒有脫離數學知識的數學方法，也沒有不包含數學思想方法的數學知識。而在數學課上，由于能力、心理發展的限制，學生往往只注意了數學知識的學習，而忽視了聯結這些知識的思想、觀點，以及由此產生的解決問題的方法與策略。即使有所覺察，也是處于“朦朦朧隴”、“似有所悟”的境界。如學生學習用換元法解分式方程，對換元法的理解是按教師要求，設未知數，換元，解換元后的方程等解題步驟。學生把換元法當作解題步驟來記憶，而未能體會出換元思想是數學中的常用的思想方法。

　　因此教師在數學課堂教學時，必需對學生進行有意識的啟發。如用字母表示數，這是中學生學好代數的關鍵一步，要跨越這一步是有一定的困難的。從算術到代數，思維方式上要產生一個飛躍，有一個從量變到質變的發展過程，學生始終認為“a是正數”，“兩個數的和大于其中任何一個加數”等，對“字母表示數，它可以代表任何一個數，像已知數一樣參加運算”很不習慣，往往只見樹木，不見樹林。我們應盡量幫助學生縮短這個“悟”的過程，在教學中多次滲透，不斷強化，逐步完成學生從數到式，由普通語言到符號語言，由特殊到一般，由具體到抽象的飛躍。

　　又如，滲透化歸思想�；瘹w，是指把待解決或未解決的問題，通過轉化，歸結到已經解決或比較容易解決的問題中去，最終使問題得到解決的一種思想方法，轉化的思想在數學教學中應貫穿始終。教材中，把有理數減法、除法轉化為加法與乘法，把復雜的一元一次方程化為標準方程，把多元方程組化為一元一次方程，把高次方程化為低次方程，把分式方程化為整式方程，由無理方程化為有理方程，將復雜圖形轉化為簡單圖形，將未知化為已知，等等，都體現了化歸的思想方法。在教學中根據學生的認知結構，結合具體內容，探索轉化方法，滲透轉化思想，逐步養成學生迎難而上，化難為易的品質，這種品質的形成可以讓學生受益終身。

　　再如，函數思想是一種對應思想，從初中到高中教材中不斷地進行深化，學生的認知水平也在不斷提高。教材從初一就開始不斷滲透函數的思想觀點和方法。如，當x=2時，求代數式3x+2的值，還可變為當x=2，3，4…時求代數式的值，讓學生體會，隨X的不斷變化，代數式的值也隨著變化。反過來，當代數式值 3x+2為零時，求x的值，就變成了方程；當x為哪些值時，代數式3x+2的值大于（小于）零，就變成了不等式。從而可用函數思想把這三者統一起來，經反復多次滲透，學生的理解水平不斷提高。到了初三學生對用兩變量之間的對應關系來定義函數，乃至到高中用兩集合的映射來定義函數，已不再感到抽象陌生。

　　三、掌握“方法”，運用“思想”。

　　數學的思想方法蘊含在教材的內容中，只有吃透內容，才會領會基本思想，學會其中的方法。

　　很多學生只把課本當成習題集，很少看書，這就很難領會其思想。常言道：“書讀百遍，其義自見”。只有讀透內容，才能知其義，曉其理。通過閱讀可培養學生的閱讀、分析、思考問題的習慣，促使學生在實際情景和數學知識之間找到一個切入口，達到“此時無聲勝有聲”的效果，從而學會數學語言。通過使用數學語言進行聽、說、讀、寫、譯的活動，就可以流暢地用數學語言進行交流，促進學生會用數學思想方法去思考問題，解決問題。

　　如北師大版八年級下冊的課題學習——《制作視力表》，引導學生閱讀時，要求學生探究視力表中蘊含的數學知識，體會視力表的制作原理外，還要求學生體驗從數學的角度觀察、分析現實生活中的某些現象，初步形成“用數學”的自覺意識。又如，“關于圓周率∏”，除了讓學生體會我國古代數學家劉微、祖沖之在圓周率方面的偉大成就外，主要的是讓學生在閱讀中體會極限思想，同時也讓學生明白，數學的創造與其它學科知識的創造類似，在得到一個正確結論之前，常常經歷過猜想、實驗、驗證、歸納、總結等過程，是通過無數次失敗而換得的成功。

　　總而言之，教師在進行教學時應站在學生的角度來優化教學過程，充分考慮學情，給學生以閱讀、思考、交流的機會，適時讓學生體悟數學思想方法，長期堅持下去必將會極大地喚起學生的主體意識，同時課堂也將充盈著春天般的生命力。

　　四、提煉“方法”，完善“思想”。

　　教學中要適時恰當地對數學方法給予提煉和概括，讓學生有明確的印象。由于數學思想、方法分散在各個不同部分，而同一問題又可以用不同的數學思想、方法來解決。因此，教師的概括、分析是十分重要的。教師還要有意識地培養學生自我提煉、揣摩概括數學思想方法的能力，這樣才能把數學思想、方法的教學落在實處。在教學中，抓住機會，適時滲透。教學知識的發生過程，實際上也是思想方法的發生過程、思考過程。因此，概念的形成過程、結論的推導過程、方法的思考過程、問題的發現過程、規律的被揭示過程都蘊藏著向學生滲透數學思想方法、訓練思維的極好機會。

　　柏拉圖說：他從不把自己看作一個幫助別人產生他們自己思想的“助產士”。學習有一條很重要的原則，就是不可替代的原則。對于數學思想方法的學習也不能僅僅靠灌輸。應將概念、結論性知識的教學設計成再發現、再創造的教學。通過探索研究活動，讓學生在動腦、動手、動口的過程中領悟、體驗、提煉數學思想方法，并逐步掌握、運用它。

　　教材中為滲透數形結合思想，在七年級“有理數”一章中就先入為主，充分利用數軸，直觀形象地給出了有理數的有關概念及運算。列方程解應用題中通過列表、圖式，可使隱含的等量關系明朗化。到了八年級，隨著無理數的引入，運用數形結合的思想，學生對“數軸上的點與實數一一對應”就很容易理解。勾股定理及其逆定理以及直角三角形相似的判定，教材中教師用代數的方法證明的，旨在體現數形結合的思想。說明代數的內容也可以用幾何去解釋，同時幾何的問題也可以用代數來證明�？傊�，從數、式、方程、不等式到函數、解直角三角形、圓，無不閃爍著數形結合思想的光輝。在教學中，充分利用教材內容，不失時機地把數與形結合起來，即把數的精確性與形的直觀性結合起來，可以收到意想不到的效果。如下面一道“標準”的代數題對初三參加興趣小組的同學就很有啟發。

　　例：求　　+    +    + ……+    的和。

　　這是高中的數列求和問題，對初中學生來說有難度，但如果設計一種情境：用一個長為1的棒，先截去　　，在截去剩下的　　，依次進行，求截去的棒的總長。借助這一圖形直觀運用數形結合的思想。學生就有了思考的依據，就會想出求截去的棒長的方法：

　　截去的長                  剩下的長

　　1—    =

　　×            　　　     —     =

　　×             　    —    =

　　……                   ……

　　于是   +     +    +……+    =（1—   ）+（   —   ）+……+（    —  ）=1—

　　如果變為：一個長為1的棒，先截去   ，再依次截去剩下的    ，   ，……，這樣進行n次，求截去棒子的長。和上例一樣，不難得到結果為1—   。

　　如果把這一情境再變為依次截去剩下的   ，  ，  ，  ……，      ，求截去的棒長，則又可得到：   +     +  ……+      =1—

　　這一結論的取得對高中生也不容易，但只要跟初中學生講清n!=n×(n-1)×……×3×2×1，運用數形結合的思想，增加學生的思考空間，初中生一樣能夠獲解，這一切得益于數學思想方法的升華，以及數學能力的提高。正如波利亞強調：在數學教學中“有益的思考方式、應有的思維習慣”應放在教學的首位。加強數學思想方法教學，必然對提高數學教學質量起到積極的作用。一旦掌握數學思想方法，學生對知識的理解更深刻，記憶更長久，思維更靈活，遷移能力更強，使學生體驗到數學活動的價值和樂趣。

　　數學思想方法具有概括性、統攝性、導向性，站在“以學生的發展為本”的角度來看，在滲透數學思想、方法的過程中，教師要精心設計、有機結合，要有意識地潛移默化地啟發學生領悟蘊含于數學之中的種種數學思想方法。在教學中適時適度滲透數學思想方法將對培養學生“終身可持續發展”的能力有極大的好處，也是提高學生素質的一個有效途徑和措施。

　　【參考文獻】：

　　【1】孔企平、張維忠、黃榮金編著《數學新課程與數學學習》北京高等教育出版社,2003.11.

　　【2】劉兼、孫曉天主編，《全日制義務教育數學課程標準解讀》北京師范大學出版社,2002.5.

　　【3】林崇德著《學習與發展》   北京師范大學出版社  1999. 7

　　【4】張永強《淺談數學思想方法對數學教學的作用》   甘肅教育   2006年10期