運用通性通法，讓數學課堂在變中出彩

　　——數學復習教學中的體會

　　摘要:數學綜合復習的目的是在短時間內幫助學生熟練掌握所學知識，為進一步的學習打好基礎。而運用通性通法進行“變式訓練”是完成這一目標的良好方法之一。本文從結構上、題目上、方法上、思維上四個方面進行變式訓練。從邏輯推理上演繹出幾個或一類問題的解法，通過對一類問題的研究，迅速將相關知識系統化、結構化。培養學生運用數學思想方法分析問題、解決問題、探究創新以及靈活多變的思維能力。

　　關鍵詞: 通性通法；變式訓練；中考復習；數學思想

　　中考數學復習是初中學生進行系統學習的最后階段，總復習的效果直接影響著學生對數學知識的掌握程度，是調動學生復習主動性和積極性，提高復習效率的關鍵，由于總復習是知識的再現過程，學生容易產生厭倦心理，如何上好復習課，使學生易于接受，樂于接受。這就需要我們老師吃透《數學課程標準》，掌握課程考試綱要，熟練駕馭教材，重視通性通法，注重變式訓練，讓數學課堂在變中出彩。

　　數學學習貫穿這兩條主線，即數學知識和數學思想方法。通性通法蘊含著豐富的數學思想和方法，更貼近學生的思想認識水平，符合常人的思維習慣，同樣也有利于培養學生的數學能力，復習時要讓學生熟練掌握通性通法，并能夠靈活應用，而對那些適用面窄，局限性大的特殊技巧應予以淡化，以免削弱對通性通法的復習和訓練。在初中數學中，常用的數學思想有函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、化歸轉化思想、整體思想等。應在解決問題的過程中加以揭示、運用和提煉，并在專題復習階段進一步系統化，對于常用于數學解題的配方法、換元法、待定系數法等通法，盡管各自有其不同的特點和應用范圍，但他們都是解決數學問題的強有力的工具，應在基礎知識復習階段進行滲透、解釋和運用，并在專題復習階段進行系統化的訓練，要注意運用通性通法積累一些常規的解題方法，形成常規的解題意識和能力。下面就自己在現階段初三數學復習教學中的一點做法供大家探討：

　　一、變通知識結構，系統知識脈絡

　　數學教材是按循序漸進，螺旋式上升的原則進行編排的，復習時若再按章節一一回顧知識要點，學生會覺得枯燥乏味，心生厭煩，也不利于知識系統的形成。心理學研究表明新鮮事物容易使人產生興趣，激發好奇心、求知欲。總復習階段學生已經失去了上新課時的那種熱情和新鮮感，因此，教師要調整知識結構，讓知識以另一副面孔呈現。

　　根據學生的認知規律，教材在內容編排上往往把某些知識分散介紹。在總復習時，應將這些知識運用通性通法，進行系統整理，給學生以整體全面的知識結構體系。例如，方程、不等式與函數是初中代數的重要內容，看似相互獨立的三塊知識結構，實際上是緊密聯系，相輔相成的教學內容，在復習一次函數時，可利用圖像闡明它和一元一次方程、一元一次不等式及其解之間的聯系。而二次函數，可利用圖像闡明它和一元二次方程、一元二次不等式的聯系。這樣的知識整理可讓學生對函數、方程、不等式有更全面的理解，在對舊知識進行梳理時，進行多角度的審視，而不是機械的重復，讓學生耳目一新的同時，體會數學的緊密性、邏輯性和嚴謹性。

　　二、改編題目條件，實現知識遷移

　　題目變通包括條件的探究，即增加、減少或變更條件；結論的探究，即結論是否唯一；引申探究，即命題是否推廣；數與形的探究等。利用此類變通方法，可以使學生掌握一類題的解法，即解題通法。其實解題不僅可以查漏補缺，檢查知識的掌握情況，還能夠通過解題提煉出解題方法，解題技巧，培養學生運用數學思想方法分析問題、解決問題、探究創新以及靈活多變的思維能力。

　　例如（2007年江西省中考試題）如圖1，已知∠AOB，OA=OB，點E在OB邊上，四邊形AEBF是矩形，請你只用無刻度的直尺在圖中畫出∠AOB的平分線（保留畫圖痕跡）

　　[說明]此題是運用矩形對角線互相平分，且其交點在等腰△AOB的頂角平分線上來解決問題。

　　變式1   如圖2，已知∠AOB，⊙P與∠AOB的兩邊相切，請你只用無刻度的直尺在圖中畫出∠AOB的平分線（保留畫圖痕跡）。

　　變式2  如圖3，已知∠AOB，E，F兩點分別在OA，OB上，四邊形EOFP是菱形，請你只用無刻度的直尺在圖中畫出∠AOB的平分線（保留畫圖痕跡）。

　　變式3  如圖4，已知∠AOB，OA=OB，點E在OB邊上，四邊形AEBF是平行四邊形，請你只用無刻度的直尺在圖中畫出∠AOB的平分線（保留畫圖痕跡）

　　本題組是將起點題中的矩形分別變換成圓、菱形、平行四邊行，通過不同知識解決同一問題，使學生的思維得以發散。

　　事實上，許多課本習題都是由編寫者精心篩選，匠心獨運命制而成的，具有豐富的內涵，平時解題時應引導學生進行解題反思。既要反思題目的條件與結論之間因果關系能否交換，又要注意命題條件能否等價的更換，結論能否拓展、引申與推廣，圖形的結構能否發生變化，怎樣變化？從而培養學生的數學思維方法的變通，因為總結的過程需要涉及許多相關知識，因此，有的學生不愿意在這方面下功夫，而忽略了它，但真正做起來就會覺得其妙無窮，因為總結解決的不僅是解一道題，更為重要的是學生在這一過程中參與了創造性思維活動這一點絕非單純的解多少道題目所能比及的，如果教師能引導學生認真做好解題后的反思總結，橫穿縱拓地探索，必能激起學生探求數學奧秘的動機，對數學學習產生濃厚興趣。久而久之，就可以讓學生學到總結歸納的方法，達到“做一題，通一類，會一片”舉一反三，觸類旁通的功效。

　　三、變換解題方法，感受數學思想

　　對于解題方法而言，當從某個角度難以入手時，換一個角度的靈活多變，各種不同思路，不同方法的分析比較，是形成創新意識，創新能力的源泉。通過有意識的精選可用多種思路來完成的典型題，利用方法變通，可幫助學生找到解題的“切入點”，領會數形結合、分類討論、函數與方程、化歸與轉化等數學思想，掌握換元法、配方法、待定系數法等常用數學方法。

　　例如圖（1）是由邊長為a的正方形剪去一個邊長為b的小正方形后余下的圖形，把圖（1）剪開后，再拼成一個四邊形，用來驗證公式a2-b2=(a+b)(a-b)

　　在第一個同學拿出方法一后，馬上就有同學展示了方法二，在接下來的討論中同學們紛紛給出了方法三的（1）、(2)、(3)三種方案，每個同學都躍躍欲試，都體驗了自己的成功，課堂因不同的方法而變得精彩。

　　四、變通思維方式，培養創新能力

　　“數學是訓練思維的體操”。思維變通往往指的是以上幾種變通的綜合，尤其是題目變通和方法變通。在中考數學復習教學過程中，利用此類變通問題可以培養學生思維的靈活性、深刻性和發散性，從而更好地挖掘學生的潛能，提高學生的綜合素質。

　　例如：如圖，在小河l的同旁有牛欄A和草地B，牛每天要先到河邊飲水，然后到草地吃草。請問牧童如何才能使牛走的路程之和最短？

　　這是一道典型的幾何作圖試題，它涉及軸對稱，兩點之間線段最短，尺規作圖等數學知識，若將這道題稍加變式，則能激起學生更大的思維浪花。

　　變式1：一束光線從y軸上點A(0,2)出發，經過x軸上點P反射后經過點B(4,6)，則點P坐標------

　　變式2：在上題中，試在軸上找一點，使PB-PA的值最大，則點P坐標-------

　　思路分析：若P、A、B不在一直線上，則PB-PA<AB；若P、A、B在一直線上，則PB-PA=AB，所以PB-PA≤AB,，其最大值為AB，所以P(-2,0)

　　老師在展示這道變式題時學生的興致很高，尤其是基礎比較扎實，成績比較優秀的學生收效甚好。

　　在變式探究過程中，學生的思維逐步深入，并影響著課堂的氣氛，課堂常常因變化的奧妙精彩而推向高潮。教學的關鍵不是記住結論，而是經歷探究的過程，感受數學的研究方法，促進數學能力的提高，只有在運用通性通法進行不斷變式演練中，才能提高解題能力。通過變式教學，有意識、有目的地引導學生從“不變”的本質中探究“變”的規律，使思維在所學知識中游刃有余，順暢飛翔。

　　中考試卷中的新題型知識考查的載體，在總復習時不能將新題型的復習游離于通性通法之外，應重視“選題”和“變式”訓練，通過編式訓練幫助學生多角度理解知識，掌握數學知識中蘊含的數學思想和方法，從而達到靈活運用的目的，如何挖掘每個數學問題的“營養價值”來達到“以少勝多”、“舉一反三”、“融會貫通” 的功效。是數學教師錘煉自身內功的一個追求目標，精選的例題、習題既要能體現通性通法，即既包含數學思想方法，又要適量“難、新、活、寬”的題目做到難而不怪、新而不奇、活而不亂、寬而不偏。從而使數學課堂在變中出彩。

　　參考文獻：

　　[1]裴光亞  《中學數學復習的戰略決策》中學數學教學參考2008（1-2）

　　[2]王鋒    《教學生做一題，通一類，會一片》中小學數學2007（1-2）