首先，我要感謝國際數學奧林匹克（香港）委員會及香港教育署讓我有機會在“數學普及講座及交流系列”上作講演。尤其要感謝國際數學奧林匹克（香港）委員會主席岑嘉評教授及譚炳均博士。我也要感謝今天來出席會議的各位香港的中學老師和同學。再過三天就要過春節了，大家都很忙，有很多事情要做，可是還抽空來聽我的講演，使我很感動。
 
　　這次講演，打算講以下幾點：
　　一、百年前的講演
　　二、百年前的講演的啟示
　　三、算術與代數
　　四、幾何與三角
　　五、微積分
　　六、幾點啟示
　　七、結束語
 
　　一、百年前的講演
 
　　今天是2001年1月20日，二十一世紀剛剛開始了20天。在100年前，即1904年8月5日，德國數學家DavidHilbert（1862―1943）在巴黎國際數學家大會上作了題為《數學問題》的著名講演。這是載入數學史冊的重要講演。他在講演的前言和結束語中，對數學的意義、源泉、發展過程及研究方法等，發表了許多精辟的見解。而整個講演的主體，則是他根據十九世紀數學研究的成果和發展趨勢而提出的23個數學問題，這些問題涉及現代數學的許多重要領域。一百年來，這些問題一直激發著數學家們濃厚的研究興趣，100年過去了，這些問題近一半已經解決或基本解決，但還有些問題雖取得了重大進展，但未最后解決，如：Riemann猜想，Goldbach猜想等。
 
　　100年過去了，對Hilbert在1900年提出的23個問題，現在回過頭來看，有不少評論。但是很多人認為：這些問題，對推動二十世紀數學的發展起了很大的作用，當然也有評論說其不足之處，例如：這23個問題中未能包括拓撲學、微分幾何等在二十世紀成為前沿學科的領域中的數學問題；除數學物理外很少涉及應用數學待等。當然更不會想到二十世紀電腦的大發展及其對數學的重大影響。二十世紀數學的發展實際上是遠遠超出了Hilbert問題所預示的范圍。
 
　　D。Hilbert是十九世紀和二十世紀數學交界線上高聳著的三位偉大數學家之一，另外二位是HenriPoincare（1854―1912）及FelixKlein（1849―1925），他們的數學思想及對數學的貢獻，既反射出十九世紀數學的光輝，也照耀著二十世紀數學前進的道路。
 
　　D。Hilbert是在上一個世紀，新、舊世紀交替之際作的講演，現在又一個新的世紀開始了，再來看看他的講演，其中一些話，現在仍然適用，例如在講演一開始，他說“我們當中有誰不想揭開未來的帷幕，看一看在今后的世紀里我們這門科學發展的前景和奧秘呢？我們下一代的主要數學思潮將追求什么樣的特殊目標？在廣闊而豐富的數學思想領域，新世紀將會帶來什么樣的新方法和新成果？”他還接著說：“歷史教導我們，科學的發展具有連續性。我們知道，每個時代都有它自己的問題，這些問題后來或者得以解決，或者因為無所裨益而被拋到一邊并代之以新的問題。因為一個偉大時代的結束，不僅促使我們追潮過去，而且把我們的思想引向那未知的將來。”
 
　　二十世紀無疑是一個數學的偉大時代，二十一世紀的數學將會更加輝煌。“每個時代都有它自己的問題”，二十世紀來臨時，Hilbert提出了他認為是那個世紀的23個問題。這些問題對二十世紀數學的發展起了很大的推動作用，但二十世紀數學的成就卻遠遠超出他所提出的問題。那么二十一世紀的問題又是什么呢？Hilbert1900年在巴黎國際數學家大會上提出這些問題時，才38歲，但已經是當時舉世公認的德高望重的領袖數學家之一。大家知道，2002年國際數學家大會將在中國北京召開，這是國際數學家大會第一次在第三世界召開，那么在這新舊世紀交替之際，會不會有像Hilbert這樣崇高威望的人在會上提出他認為的二十一世紀的數學問題或是以其他的形式展望二十一世紀的數學？這個我當然不知道，但這些年來，已有不少數學家提出他自己認為的二十一世紀的數學問題，但往往是“仁者見仁，智者見智”。
 
　　二、百年前的講演的啟示
 
　　對Hilbert的23個問題不在這里介紹了，因為它超越了中學數學的范圍。但百年前，Hilbert演講中對數學的一些見解都是非常的深刻，百年過去了，重讀他的演講，依然得到很多啟示，我也不可能在這短短的一個多小時內，對他的演講的各個部分來闡述自己的體會，我只想講一點對他說的其中的一段話自己的粗淺認識。
 
　　從十七世紀六十年代，微積分發明以來，數學得到了極大的發展，分支也愈來愈多。開始時一些大數學家，對各個分支都懂，并且做出了很重大的貢獻。但后來數學的分支愈分愈細，全面懂得各個分支的數學家愈來愈少，到十九世紀末，Hilbert做講演時，已經是這種情況，于是在講演中，他說了這樣一段話：“然而，我們不禁要問，隨著數學知識的不斷擴展，單個的研究者想要了解這些知識的所有部門豈不是變得不可能了嗎？為了回答這個問題，我想指出：數學中每一步真正的進展都與更有力的工具和更簡單的方法的發現密切聯系著，這些工具和方法同時會有助于理解已有的理論并把陳舊的、復雜的東西拋到一邊，數學科學發展的這種特點是根深蒂固的。因此，對于個別的數學工作者來說，只要掌握了這些有力的工具和簡單的方法，他就有可能在數學的各個分支中比其它科學更容易地找到前進的道路。”。一百年過去了，數學發展得更為廣闊與深人，分支愈來愈多，現在數學已有六十個二級學科、四百多個三級學科，更是不得了，所以Hilbert的上述這段話現在顯得更為重要。不僅如此，Hilbert的這段話實際上講的是數學發展的歷史過程，十分深刻地揭示了數學發展是一個新陳代謝，吐故納新的過程，是一些新的有力的工具，更簡單的方法的發現，與一些陳舊的、復雜的東西被拋棄的過程，是“高級”的數學替代“低級”的數學的過程，而“數學科學發展的這種特點是根深蒂固的。”事實上，在數學的歷史中，一些新的有力的工具，更簡單的方法的發現，往往標志著一個或多個數學分支的產生，是一些老的分支的衰落甚至結束。
 
　　回顧一下我們從小開始學習數學的過程，就是在重復這個數學發展的過程。一些數學雖然后來被更有力的工具和更簡單的方法所產生的新的數學所替代了，即“低級”的被“高級”的所替代了，但在人們一生學習數學的過程中，卻不能只學習“高級”的，而完全不學習“低級”的，完全省略掉學習“低級”的過程。這是因為人們隨著年齡的不斷增加，學習與他的年齡與智力相當的數學才是最佳選擇，學習數學是一個循序漸進的過程，沒有“低級”的數學打好基礎，很難理解與學習好“高級”的數學。
 
　　以下我們從Hilbert講演中的這一段精辟的論述的角度來認識我們的中小學的數學課程。我只是從數學發展的歷史的角度來討論問題，為大家從數學教育的角度來討論問題作參考。但我必須強調的是：從數學發展的歷史的角度來考慮問題與從數學教育的角度來考慮問題雖有聯系，但是是不一樣的。
 
　　三、算術與代數
 
　　　人類有數的概念，與人類開始用火一樣古老，大約在三十萬年前就有了。但是有文字記載的數學到公元前3400年左右才出現。至于數字的四則運算則更晚，在我國，《九章算術》是古代數學最重要的著作，是從先秦到西漢中葉的眾多學者不斷修改、補充而成的一部數學著作，成書年代至遲在公元前一世紀。這是一本問題集形式的書，全書共246個題，分成九章，包含十分豐富的內容。在這本書中有分數的四則運算法則、比例算法、盈不足術、解三元線性代數方程組、正負數、開方以及一些計算幾何圖形的面積與體積等。在西方，也或遲或早地出現了這些內容，而這些內容包括我們從小學一直到中學所學習“算術”課程的全部內容。也就是說人類經過了幾千年才逐步弄明白建立起來的“算術”的內容，現在每個人在童年時代花幾年才逐步弄明白建立起來的“算術”的內容，現在每個人在童年時代花幾年就全部學會了。對于“算術”來講，“真正的進展”是由于“更有力的工具和更簡單的方法的發現”，這個工具與方法是“數字符號化”，從而產生了另一門數學“代數”，即現在中學中的“代數”課程的內容。在我國，這已是宋元時代（約十三世
 
　　紀五六十年代），當時的著作中，有“天元術”和“四元術”，也就是讓未知數記作為“天元”、“x”，后來將二個、三個及四個未知數記作為“天”、“地”、“人”、“物”等四元，也就是相當于現在用x，y，z，w來表達四個未知數，有了這些“元”，也就可以解一些代數方程與聯立線性代數方程組了。在西方徹底完成數字符號化是在十六世紀。現在中學生學習的“代數”的內容：包括一元二次方程的解，多元（一般為二元，三元至多四元）聯立方程的解等。當然在“數字符號化”之前，一元二次方程的解，多元聯立方程的解也是已經出現，例如我國古代已經有一些解一般數字系數的代數方程的“算法程序”，但這些都是用文字來表達的，直到“數字符號化”之后，才出現了現在中學代數的內容的形式。
 
　　由“數字符號化”而產生的中學“代數”的內容，的的確確是“數學中真正的進展”。“代數”的確是“更有力的工具和更簡單的方法”，“算術”顧名思義，可以理解為“計算的方法”，而“代數”可以理解為“以符號替代數字”，即“數字符號化”。人類從“算術”走向“代數”經歷了千年。但在中學的課程中，卻只花短短的幾年，就可以全部學會這些內容。
 
　　回憶我在童年時代，在小學學習“算術”課程時，感到很難，例如：求解“雞兔同籠”題，即：一個籠子中關著若干只雞，若干只兔，已知共有多少個頭，多少只腳，求有多少只雞，多少只兔？當時老師講的求解的方法，現在已完全記不得了，留下的印象是感到很難，而且納悶的是：雞與兔為何要關在一個籠子里？既數得清有多少個頭及多少只腳？為何數不清有多少只雞與多少只兔？等到初中時，學習了“代數”課程，才恍然大悟，這不過是二元一次聯立代數方程組，解方程組十分簡單方便，這不僅可以用來解“雞兔同籠”，即使將鴨與狗關在一個房間中，來數頭數與腳數，不妨叫做“鴨狗同室”問題，對這樣的問題一樣可以解。因之，“代數”顯然比“算術”來得“高級”，這的確是“更有力的工具和更簡單的方法”，而這些工具和方法同時會有助于理解已有的理論并把“陳舊的、復雜的東西拋到一邊”，也就是從“代數”的角度來理解“算術”可以理解得更深刻，而可以把“算術”中一些復雜的，處理個別問題的方法拋到一邊去。
 
　　在這里，我要重復說一遍，盡管中學的“代數”比小學的“算術”來得“高級”，是“更有力的工具與更簡單的方法”，但并不意味著小學的“算術”就可以不必學了，因為：
 
　　（1）“算術”中的一些內容不能完全被“代數”所替代，如四則運算等；
　　（2）即使能被替代的內容，適當的學習一些，有利于對“代數”內容的認識與理解；
　　（3）從教育學的角度考慮，這里有循序漸進的問題，有學生不同年齡段的接受能力的問題等等。
 
　　作為中學“代數”中的一個重要內容是解多元一次聯立方程組，在中學“代數”的教材中，一般著重講二元或三元一次聯立方程組，所用的方法往往是消元法。但是如果變元為四個或更多時，就得另想辦法來建立起多元一次聯立方程組的理論。經過很多年的努力，矩陣的想法產生了，這不但給出了多元一次聯立代數方程組的一般理論，而且由此建立起一門新的學科“線性代數”。這是又一次“數學中真正的進展”，由于“更有力的工具和更簡單的方法”，即“矩陣”的發現，不僅對多元一次聯立代數方程組的理解更為清楚、更為深刻，由于有了統一處理方法，可以把個別地處理方程組的方法“拋到一邊”。
 
　　當然，“線性代數”是大學的課程，但它的產生的確再次印證了Hilbert所說的那段話。在中學“代數”中的另一個重要內容是解一元二次方程，在古代，例如《九章算術》中已有解一般一元二次方程的算法，后來有很多的發展，直到al-khowarizmi（約783―850）相當于給出了一般形式的一元二次方程。
 
　　1545年G.Cardano（1501-1576）公布了由N.Fontana（1499－1557）發現了解一元三次方程的解，而一元四次方程的解由L.Ferrari（1522―1565）所解決。于是當時大批的數學家致力于更高次方程的求根式解，即企圖只對方程的系數作加、減、乘、除和求正整數次方根等運算來表達方程的解。經過了二個世紀的努力，大批數學家都失敗了，直到1770年J.?Lagrange（1736―1813）看到了五次及高次方程不可能做到這點，又過了半個世紀，1824年，N.?Abel（1802―1829）解決了這個問題，即對于一般的五次和五次以上的方程求根式解是不可能的。但什么樣的特殊的代數方程能用根式來求解，這是E?Galois（1811―1832）所解決，而更為重要的是：為了解決這個問題，他建立起“群”的概念，這就意味著現代代數理論的產生，這是又一次“數學中真正的進展”。它是由于“更有力的工具和更簡單的方法”，即“群”的發現而造成的，有了“群”以及后來發展起來的現代代數理論，可以更清楚、更深刻地理解以往高次代數方程求根式解的問題，而的確可以把以往那些“陳舊的、復雜的東西拋到一邊”。
 
　　雖然“群”等近代代數的內容已超出中學教學的內容，但代數方程求根式解問題的提出到徹底解決，這三百年的過程，十分確切地印證了前面不斷重復的Hilbert所說的那段話。
 
　　“群”的作用在歷史上及現代數學中都是不可估量的。例如：1872年Klein提出著名的ErlangerProgramm，即認為各種幾何學就是研究各種不同變換群下的不變性質。這個數學思想，不僅對幾何學的發展，而且對整個數學的發展起了巨大的作用。